Dosen Pendidikan Matematika, IKIP Siliwangi

Barisan Monoton dan Teorema Bolzano Weierstrass


File ini berisi materi tentang Barisan Monoton, Konvergensi Monoton, Barisan Bagian, Kriteria Divergensi, Barisan Bagian Monoton,  dan Teorema Bolzano-Weiertrass.

Share:

Barisan dan Limit Barisan



A. Barisan Bilangan Real

Definisi 1:
Suatu barisan bilangan Real adalah suatu fungsi pada himpunan N dengan daerah hasil yang termuat di R.

Suatu barisan di R memasangkan masing-masing bilangan asli n = 1, 2, 3, ... secara tunggal dengan bilangan real. 
Bilangan real yang diperoleh tersebut disebut elemen atau nilai atau suku dari barisan tersebut.
Penulisan elemen dari R yang berpasangan dengan  dengan suatu simbol

yaitu  .

Bila   suatu barisan.
Nilai X di n ditulis dengan .
Notasi barisan ditulis . 

Contoh:
1. Barisan 
Himpunan nilai barisan X adalah  dapat dinotasikan .

2. Barisan   dapat dinotasikan dengan .
3. Barisan  dapat dinotasikan dengan  .


Definisi 2:
Bila  dan  barisan bilangan R didefinisikan



Bila  didefinisikan 
Bila  suatu barisan dengan  dan  didefinisikan 


Latihan 1
1. Susun sebuah barisan .
2. Tentukan notasi dari barisan 
3. Berikan masing-masing 2 (dua) contoh dari penerapan Definisi 2 menurut pemahamanmu!

B. Limit Barisan 

Definisi:
Misalkan  barisan bilangan R. Suatu bilangan real dikatakan limit dari  bila untuk setiap  terdapat bilangan asli , sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli , suku-suku  memenuhi 

Bila merupakan suatu limit dari barisan tersebut dapat dikatakan bahwa konvergen ke-x
Bila suatu barisan mempunyai limit dapat dikatakan bahwa barisan tersebut konvergen.
Namun, bila suatu barisan tidak mempunyai limit dapat dikatakan bahwa barisan tersebut divergen.

Jika suatu barisan mempunyai limit x, maka dapat ditulis:
   atau   atau  

Notasi K(ε) secara eksplisit menyatakan bahwa pemilihan K tergantung pada nilai ε>0. Dalam beberapa kasus, nilai “kecil” ε selalu membutuhkan nilai besar” K untuk menjamin bahwa    antara  dan x adalah kurang dari ε  untuk setiap n ≥ K = K (ε).

Contoh:
Tunjukkan bahwa 
Penyelesaian:
Diberikan ε>0 sebarang, sehingga 

Sifat ArchimedesUntuk setiap  terdapat  sehingga 

Menurut Sifat Archimedes terdapat bilangan asli K = K (ε) sehingga bila ≥ K diperoleh  
Dapat dinyatakan bahwa   dengan kata lain barisan  konvergen ke 0. 



Share:

Sifat Kelengkapan Bilangan Real


Sifat Kelengkapan Bilangan Real

Sifat kelengkapan berkaitan dengan konsep supremum dan infimum pada Bilangan R.

Defenisi
Misalkan S adalah sub-himpunan dari R.
a. Bila S terbatas di atas, maka batas atas u dikatakan supremum (batas atas terkecil) dari S bila tidak terdapat batas atas (yang lain) dari S yang kurang dari u.
b. Bila S terbatas di bawah, maka batas bawah w dikatakan infimum (batas
bawah terbesar) dari S bila tidak terdapat batas bawah (yang lain) dari S yang kurang dari w.

Lemma 1
Bilangan real u merupakan supremum dari himpunan tak kosong S di R jika dan hanya jika u memenuhi kedua kondisi berikut:
a.  untuk semua .
b. bila v < u, maka terdapat  sehingga .

Lemma 2
Suatu batas atas u dari himpunan tak kosong S di R merupakan supremum 
dari S jika dan hanya jika untuk setiap  terdapat  sehingga 

Sifat Supremum dari R
Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang mempunyai batas atas mempunyai supremum di R.

Sifat Infimum dari R
Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang mempunyai batas bawah mempunyai infimum di R.

Latihan
1. Buktikan Lemma 1, Lemma 2, Sifat Supremum dari R, serta Sifat Infimum dari R dengan kalimat Anda sendiri.
2. Misalkan  Apakah  memiliki batas atas dan batas bawah? Buktikan!
3. Buktikan bahwa jika a batas atas dari himpunan A, dan b batas bawah dari himpunan A, maka
a. Setiap  dengan  merupakan batas atas dari A.
b. Setiap  dengan  merupakan batas bawah dari A.
Share:

Follower

Recent Posts

Popular Posts

Total Tayangan Halaman